т.е. синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов; или отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная. Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии. Мы ограничимся выводом одной только формулы для прямоугольного сферического треугольника. Положим А = 90°; тогда sin А = 1, cos A = 0, и из формулы (1.33) получим sin a cos В = sin с cos b. Разделив обе части этого равенства на sin b и заменив на на , согласно (1.34), будем иметь: ctg B = sin c ctg b или
(1.35)
т.е. отношение тангенса одного катета прямоугольного сферического треугольника к тангенсу противолежащего угла равно синусу другого катета.
§ 29. Параллактический треугольник и преобразование координат
Параллактическим треугольником называется треугольник на небесной сфере, образованный пересечением небесного меридиана, вертикального круга и часового круга светила. Его вершинами являются полюс мира Р, зенит Z и светило М. Если светило М находится в западной половине небесной сферы (рис. 16), то сторона ZP
(дуга небесного меридиана) равна 90° - j , где j - широта места наблюдения; сторона ZM (дуга вертикального круга) равна зенитному расстоянию светила z = 90° - h, где h - высота светила; сторона РМ (дуга часового круга) равна полярному расстоянию светила р = 90° - d , где d - склонение светила; угол PZM = 180° А, где A - азимут светила; угол ZPM = t, т.е. часовому углу светила; угол PMZ = q называется параллактическим углом. Если светило находится в восточной половине небесной сферы (рис. 17), то значения сторон параллактического треугольника те же, что и в случае пребывания светила в западной половине, но значения углов при вершинах Z и Р иные, а именно: угол PZM = А - 180°, а угол ZPM = 360° - t . Вид параллактического треугольника для одного и того же светила зависит от широты места наблюдения j (от взаимного расположения Р и Z) и от момента наблюдения, т.е. от часового угла t. Применяя основные формулы сферической тригонометрии к параллактическому треугольнику (рис. 16) и считая исходными сторону РМ и угол t, получим cos (90° - d ) = cos (90° - j ) cos z + sin (90° - j ) sin z cos (180° - A), sin (90° - d ) sin t = sin z sin (180° - A), sin (90° - d ) cos t = sin (90°- j ) cos z - cos (90° - j ) sin z cos (180° A) или
(1.36)
Формулы (1.36) служат для вычисления склонения светила d и его часового угла t (а затем и прямого восхождения a = s - t) по измеренным (или известным) его зенитному расстоянию z и азимуту A в момент звездного времени s). Иными словами, они служат для перехода от горизонтальных координат светила к его экваториальным координатам. Если исходными считать сторону ZM = z и угол 180° - A, то основные формулы в применении к параллактическому треугольнику напишутся в следующем виде: cos z = cos (90° - j ) cos (90° - d ) + sin (90° - j ) sin (90° - d ) cos t, sin z sin (180° - A) = sin (90° - d ) sin t, sin z cos (180° - A) = sin (90° - j ) cos (90° - d ) - cos (90° - j ) sin (90° - d ) cos t или
(1.37)
Формулы (1.37) служат для вычисления зенитного расстояния z и азимута светила A (для любого момента звездного времени s и для любой широты j ) по известному склонению светила d и его часовому углу t = s - a . Иными словами, они служат для перехода от экваториальных координат светила к его горизонтальным координатам. Кроме того, формулы (1.36) и (1.37) используются при вычислении моментов времени восхода и захода светил и их азимутов в эти моменты, а также при решении двух очень важных задач практической астрономии - определения географической широты места наблюдения j и определения местного звездного времени s.
Для перехода от экваториальных координат светила (a и d ) к его эклиптическим координатам (l и b ) и наоборот можно вывести формулы, аналогичные формулам (1.36) и (1.37). Только в этом случае надо основные формулы § 28 применить к сферическому треугольнику небесной сферы, вершинами которого являются полюс мира Р, полюс эклиптики П и светило М, а стороны и углы имеют значения, указанные на рис. 18.
§ 30. Рефракция
Видимое положение светила над горизонтом, строго говоря, отличается от вычисленного по формуле (1.37). Дело в том, что лучи света от небесного тела, прежде чем попасть в глаз наблюдателя, проходят сквозь атмосферу Земли и преломляются в ней, а так как плотность атмосферы увеличивается к поверхности Земли, то луч света (рис. 19) все более и более отклоняется в одну и ту же сторону по кривой линии, так что направление ОМ1 , по которому наблюдатель О видит светило, оказывается отклоненным в сторону зенита и не совпадающим с направлением ОМ2 (параллельным ВМ), по которому он видел бы светило при отсутствии атмосферы.
Явление преломления световых лучей при прохождении ими земной атмосферы называется астрономической рефракцией. Угол M1OM2 называется углом рефракции или рефракцией r . Угол ZOM1 называется видимым зенитным расстоянием светила z', а угол ZOM2 - истинным зенитным расстоянием z. Непосредственно из рис. 19 следует z - z' = r или z = z' + r , т.е. истинное зенитное расстояние светила больше видимого на величину рефракции r . Рефракция как бы приподнимает светило над горизонтом. По законам преломления света луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости. Следовательно, траектория луча МВО и направления ОМ2 и OM1 лежат в одной вертикальной плоскости. Поэтому рефракция не изменяет азимута светила, и, кроме того, равна нулю, если светило находится в зените. Если светило находится в кульминации, то рефракция изменяет только его склонение и на ту же величину, что и зенитное расстояние, так как в этом случае плоскости его часового и вертикального кругов совпадают. В остальных случаях, когда эти плоскости пересекаются под некоторым углом, рефракция изменяет и склонение, и прямое восхождение светила. Точная теория рефракции очень сложна и рассматривается в специальных курсах. Рефракция зависит не только от высоты светила над горизонтом, но и от состояния атмосферы, главным образом от ее плотности, которая сама является функцией, в основном температуры и давления. При давлении В мм. рт. ст. и температуре t° С приближенное значение рефракции
(1.38)
Следовательно, при температуре 0° С и при давлении 760 мм рефракция
r = 60”,25 tg z'.(1.39)
По формулам (1.38) и (1.39) рефракция вычисляется в тех случаях, когда видимое зенитное расстояние z' < 70°. При z' > 70° формулы (1.38) и (1.39) дают ошибку больше 1", увеличивающуюся при дальнейшем приближении к горизонту до бесконечности, тогда как действительная величина рефракции в горизонте составляет около 35'. Поэтому для зенитных расстояний z' > 70° рефракция определяется путем сочетания теории со специальными наблюдениями. Вследствие рефракции наблюдается изменение формы дисков Солнца и Луны при их восходе или заходе. Рефракция нижних краев дисков этих светил у горизонта почти на 6' больше рефракции верхних краев, а так как горизонтальные диаметры рефракцией не изменяются, то видимые диски Солнца и Луны принимают овальную форму.
§ 31. Суточный параллакс
Координаты небесных тел, определенные из наблюдений на поверхности Земли, называются топоцентрическими. Топоцентрические координаты одного и того же светила в один и тот же момент, вообще говоря, различны для различных точек на поверхности Земли. Различие это заметно лишь для тел Солнечной системы и практически не ощутимо для звезд (меньше 0",00004). Из множества направлений, по которым светило видно из разных точек Земли, основным считается направление из центра Земли. Оно дает геоцентрическое положение светила и определяет его геоцентрические координаты. Угол между направлениями, по которым светило М' было бы видно из центра Земли и из какой-нибудь точки на ее поверхности, называется суточным параллаксом светила (рис. 20). Иными словами, суточный параллакс есть угол р', под которым со светила был бы виден радиус Земли в месте наблюдения.
Для светила, находящегося в момент наблюдения в зените, суточный параллакс равен нулю. Если светило М наблюдается на горизонте, то суточный параллакс его принимает максимальное значение и называется горизонтальным параллаксом р. Из соотношения между сторонами и углами треугольников ТОМ' и ТОМ (рис. 20) имеем
и Отсюда получаем sin р' = sin p sin г'. Горизонтальный параллакс у всех тел Солнечной системы - величина небольшая (у Луны в среднем р = 57', у Солнца р = 8",79, у планет меньше 1’). Поэтому синусы углов р и р' в последней формуле можно заменить самими углами и написать
p' = p sin z'.(1.40)
Вследствие суточного параллакса светило кажется нам ниже над горизонтом, чем это было бы, если бы наблюдение проводилось из центра Земли; при этом влияние параллакса на высоту светила пропорционально синусу зенитного расстояния, а максимальное его значение равно горизонтальному параллаксу p. Так как Земля имеет форму сфероида, то во избежание разногласий в определении горизонтальных параллаксов необходимо вычислять их значения для определенного радиуса Земли. За такой радиус принят экваториальный радиус Земли R0 = 6378 км, а горизонтальные параллаксы, вычисленные для него, называются горизонтальными экваториальными параллаксами р0 . Именно эти параллаксы тел Солнечной системы приводятся во всех справочных пособиях.
§ 32. Вычисление моментов времени и азимутов восхода и захода светил
Часовой угол светила определяется из первой формулы (1.37), а именно:
(1.41)
Если какая-нибудь точка небесного свода восходит или заходит, то она находится на горизонте и, следовательно, ее видимое зенитное расстояние z'90 = 90°. Ее истинное зенитное расстояние z в этот момент вследствие рефракции (см. § 30) будет больше видимого на величину r = 35'. Суточный параллакс понижает светило над горизонтом (см. § 31), т. е. увеличивает видимое зенитное расстояние z' на величину горизонтального параллакса р. Следовательно, истинное зенитное расстояние точки в момент ее восхода или захода z = z' + r90 - p = 90° + r90 - р. Кроме того, для Солнца и Луны, имеющих заметные размеры, координаты относятся к центру их видимого диска, а восходом (или заходом) этих светил считается момент появления (пли исчезновения) на горизонте верхней точки края диска. Следовательно, истинное зенитное расстояние центра диска этих светил в момент восхода или захода будет больше зенитного расстояния верхней точки края диска на величину видимого углового радиуса R диска. (У Солнца и Луны их видимые угловые радиусы приблизительно одинаковы и в среднем равны 16’.) Таким образом, при вычислении часового угла светила в момент его восхода и захода в формуле (1.41), в самом общем случае, z = 90° + r90 - p + R, и она напишется тогда в следующем виде:
(1.42)
По формуле (1.42) часовые углы восхода и захода вычисляются только для Луны. В этом случае RR = 16’, рR = 57’ и r90 = 35'. и формула (1.42) принимает вид При вычислении часовых углов восхода и захода Солнца его горизонтальным параллаксом можно пренебречь, и при R ¤ = 16' и r90 = 35' формула (1.42) принимает вид
(1.43)
Для звезд и планет можно пренебречь также и их видимыми радиусами и вычислять часовые углы восхода и захода по формуле Наконец, если пренебречь и рефракцией, то часовой угол восхода и захода вычисляется по формуле
cos t = - tg j tg d .(1.44)
Каждое из приведенных уравнений дает два значения часового угла: t1 = t и t2 = t. Положительное значение соответствует заходу, отрицательное - восходу светила. Местное звездное время восхода и захода, согласно формуле (1.15), получается таким: sвосх = a - t.
sзах = a + t. Затем можно вычислить моменты восхода и захода светила по местному среднему солнечному времени (см. § 23) и по декретному времени (см. § 24). Если вычисляется восход и заход Солнца, то нет необходимости вычислять звездное время явлений, так как, увеличив часовые углы t1 и t2 на 12h, мы сразу получаем моменты по местному истинному солнечному времени Т¤ = t¤ + 12h. Тогда местное среднее время
Tвосх = 12h - t¤ + h,
Тзах = 12h + t¤ + h, где h - уравнение времени (см. § 22), которое берется, так же как a и d Солнца, из Астрономического Ежегодника. Азимуты точек восхода и захода светил (без учета рефракции, параллакса и углового радиуса) получим, если в первой формуле (1.36) положим z = 90°; тогда cos z = 0, sin z =1 и
(1.45)
По формуле (1.45) получаем два значения азимута: А1 = A и A2 = 360° - A. Первое значение является азимутом точки захода, второе - азимутом точки восхода светила. Представим теперь формулы (1.45) и (1.44) в виде
и
(1.46)
Так как косинус не может быть больше 1, то из этих формул следует, что восход и заход светила возможны только при условии | d | < (90° - | j | ) [см. формулу (1.4) § 13].
§ 33. Сумерки. Белые ночи
Часть суток после захода Солнца называется вечерними сумерками, а перед его восходом - утренними сумерками. Сумерки - постепенное ослабление дневного света после захода Солнца или уменьшение ночной темноты перед восходом Солнца происходят от рассеяния света слоями воздуха, находящимися выше горизонта наблюдателя (рис. 21). Различают сумерки гражданские и астрономические.
Вечерние гражданские сумерки начинаются в момент заходи Солнца и продолжаются до тех пор, пока высота центра диска Солнца не станет равной h¤ = - 6°. Утренние гражданские сумерки начинаются перед восходом Солнца, когда высота его центра h¤ = - 6°, и кончаются в момент восхода Солнца. Астрономические сумерки (утренние и вечерние) длятся дольше, так как за их начало или конец принимается тот момент, когда высота центра Солнца h¤ = - 18°. Когда кончаются вечерние гражданские сумерки, то приходится прибегать к искусственному освещению; на небе видны лишь наиболее яркие звезды. В конце вечерних астрономических сумерек исчезают последние следы вечерней зари, наступает ночь, а на небе видны уже слабые звезды. Продолжительность сумерек Dt зависит от географической широты места и от склонения Солнца d¤, т.е. от времени года, и вычисляется по формуле
(l.47)
где высота центра Солнца h¤ = - 6° для гражданских и h¤ = - 18° для астрономических сумерек, а часовой угол t восхода или захода Солнца находится по формуле (1.43). Если считать за восход и заход Солнца появление из-под горизонта и исчезновение под горизонт его верхнего края и учитывать влияние рефракции, то момент времени, вычисленный по формуле (1.43) для восхода, получается более ранним, а для захода - более поздним, чем моменты, вычисленные по формуле (1.44), т.е. без учета видимого радиуса Солнца и рефракции. Поэтому на всех географических широтах во все дни года продолжительность дня больше, чем она была бы без влияния этих причин. И то, что было сказано в §§ 16 и 17 о продолжительности дня и ночи в разных местах Земли в разные времена года, следует уточнить. Именно, на экваторе Земли день всегда продолжительнее ночи, на полюсах Земли полярный день длится больше полугода, а на остальных географических широтах равенство продолжительности дня и ночи наступает раньше, нежели Солнце придет в точку весеннего равноденствия, и позже теоретического дня осеннего равноденствия. На географической широте j = 60° 33' в день летнего солнцестояния (d¤ = + 23° 27') высота Солнца h¤ в нижней кульминации (в полночь) согласно формуле (1.13) равна - 6°. Следовательно, на широте j = 60°33’ в день летнего солнцестояния конец вечерних гражданских сумерек совпадает с началом утренних гражданских сумерек, т.е. гражданские сумерки длятся всю ночь, что дало повод назвать такую ночь белой. Число белых ночей в году и возможность их наступления зависят от географической широты места и от склонения Солнца. Для того чтобы гражданские сумерки не прекращались всю ночь, нужно, чтобы склонение Солнца d¤ ³ 90° - j - 6°, т.е. d¤ ³ 84°- j . Астрономические сумерки тем более могут длиться всю ночь. Для этого необходимо, чтобы склонение Солнца d¤ ³ 90° - j - 18° или d¤ ³ 72° - j . Отсюда следует, что сплошные астрономические сумерки могут быть на географических широтах j ³ 48° 33'.
§ 7. Видимые положения светил. Созвездия
В какой бы точке земной поверхности мы ни находились, нам всегда кажется, что все небесные тела находятся от нас на одинаковом расстоянии, на внутренней поверхности некоторой сферы, которая в просторечии называется небесным сводом, или просто небом. Днем небо, если оно не закрыто облаками, имеет голубой цвет, и мы видим на нем самое яркое небесное светило - Солнце. Иногда, одновременно с Солнцем, днем видна Луна и очень редко некоторые другие небесные тела, например, планета Венера. В безоблачную ночь на темном небе мы видим звезды, Луну, планеты, туманности, иногда кометы и другие тела. Первое впечатление от наблюдения звездного неба это бесчисленность звезд и беспорядочность расположения их на небе. В действительности звезд, видимых невооруженным глазом, не так много, как кажется, всего лишь около 6 тысяч на всем небе, а на одной половине его, которая видна в данный момент из какой-либо точки земной поверхности, не более 3 тысяч. Взаимное расположение звезд на небе меняется чрезвычайно медленно. Без точных измерений никаких заметных изменений в расположении звезд на небе нельзя обнаружить в продолжение многих сотен, а для подавляющего числа звезд - и многих тысяч лет. Последнее обстоятельство позволяет легко ориентироваться среди тысяч звезд, несмотря на кажущуюся хаотичность в их расположении. С целью ориентировки по небу яркие звезды давно уже были объединены в группы, названные созвездиями. Созвездия обозначались названиями животных (Большая Медведица, Лев, Дракон и т.п.), именами героев греческой мифологии (Кассиопея, Андромеда, Персей и т.д.) или просто названиями тех предметов, которые напоминали фигуры, образованные яркими звездами группы (Северная Корона, Треугольник, Стрела, Весы и т.п.). С XVII в. отдельные звезды в каждом созвездии стали обозначаться буквами греческого алфавита. Несколько позже была введена числовая нумерация, употребляемая в настоящее время в основном для слабых звезд. Кроме того, яркие звезды (около 130) получили собственные имена. Например: a Большого Пса называется Сириусом, a Возничего - Капеллой, a Лиры - Вегой, a Ориона Бетельгейзе, b Ориона - Ригелем, b Персея - Алголем и т.д. Эти названия и обозначения звезд применяются и в настоящее время. Однако границы созвездий, намеченные древними астрономами и представлявшие извилистые линии, в 1922 г. были изменены, некоторые большие созвездия были разделены на несколько самостоятельных созвездий, а под созвездиями стали понимать не группы ярких звезд, а участки звездного неба. Теперь все небо условно разделено на 88 отдельных участков - созвездий. Наиболее яркие звезды в созвездиях служат хорошими ориентирами для нахождения на небе более слабых звезд, или других небесных объектов. Поэтому необходимо научиться быстро находить то или иное созвездие непосредственно на небе. Для этого следует предварительно изучить карту звездного неба и запомнить характерные контуры образуемые в созвездиях наиболее яркими звездами.