Сжа'тых отображе'ний при'нцип,одно из основных положений теории метрических пространство существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. С. о. п. применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Произвольное отображение Аметрического пространства Мв себя, которое каждой точке хиз Мсопоставляет некоторую точку у = Axиз М, порождает в пространстве Муравнение
Ax = х. (*)
Действие отображения Ана точку хможно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка хназывается неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.
Отображение Аметрического пространства Мв себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек хи уиз Мвыполняется неравенство
d( Ax, Ау) Ј a d( х, у),
где символ d( u,u) означает расстояние между точками uи u метрического пространства М.
С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x 0из Мпоследовательность { x n}, определяемая рекуррентными соотношениями
x n= Ax n-1, n= 1,2,...,
имеет своим пределом неподвижную точку хотображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:
.
С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.
С помощью определённого выбора полного метрического пространства Ми построения отображения Аэти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение Аоказывается сжатым.
Лит.:Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.
Ш. А. Алимов.